Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

1.Warmte geleiding (Conductie)

2.Warmtestraling (Radiatie)

3.Warmteoverdracht door stroming (convectie)

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/K}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

{solution} ex-dvopl

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(5)

Dit moet omgeschreven worden dat T(t) expliciet is.

T(t) = T_0 + (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(6)

Dan moet deze gedifferentieërd worden over t.

\dot{T} = \frac{-1}{\tau} * (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(7)

dan omschrijven door te vermenigvuldigen met -\tau.

-\tau * \dot{T} = (T(0)-T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(8)

Deze kan dan getest worden op de differentiaal vergelijking.

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0.

(9)

Linkerkant invullen geeft

T(t) - T_0 = (T(0)-T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(10)

Rechterkant invullen geeft:

-\tau\dot{T} = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(11)

Door beide kanten in te vullen geeft dit dezelfde uitkomsten dus de vergelijkingen kloppen.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(12)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(13)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

{exercise} Uitwerken :label: ex_uitw

Laat zien dat bovenstaande geldt door eerst $(T_0+\Delta T)^4$ uit te schrijven, te substitueren en dan te bedenken dat $\Delta T$ klein is en $\Delta T^2$ dus nog kleiner.

{solution} ex_uitw

Door de volgende formule helemaal uit te schrijven van:

((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4)

(14)

naar:

T_0^4 + 4T_0^3 \Delta T + 6T_0^2\Delta T^2 + 4T_0 \Delta T^3 + \Delta T^4 - T_0^4

(15)

T_0^4 valt dan weg. Gevraagd wordt om te laten zien dat bovenstaande geldt. Omdat $\Delta T << T_0$ , zijn termen van orde $\Delta T^2$ en hoger verwaarloosbaar. Daar komt de volgende formule uit:

4T_0^3 \Delta T

(16)

Met deze ingevuld voor $((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) = 4T_0^3 \Delta T$ krijg je de bovenstaande formule.

{solution} ex_fout De fout ontstaat doordat h wordt gelineariseerd rond $T_0$ , waarbij hogere-orde termen in $\Delta T$ worden verwaarloosd.

Als het exact gedaan wordt krijg je de formule:

\dot{Q}_{exact} = \epsilon \sigma A (4T_0^3 \Delta T + 6T_0^2\Delta T^2 + 4T_0 \Delta T^3 + \Delta T^4)

(17)

In de term die gebruikt wordt mist dan:

\dot{Q}_{fout} = \epsilon \sigma A (4T_0^3 \Delta T + 6T_0^2\Delta T^2 + 4T_0 \Delta T^3 + \Delta T^4 ) - \epsilon \sigma A (4T_0^3 \Delta T)

(18)

\dot{Q}_{fout} = \epsilon \sigma A (6T_0^2\Delta T^2 + 4T_0 \Delta T^3 + \Delta T^4 )

(19)

De fout die ontstaat door de lineairisering kan berekent worden met:

\dot{Q}_{fout}/\dot{Q}_{exact} ≈ (\epsilon \sigma A (6T_0^2\Delta T^2 + 4T_0 \Delta T^3 + \Delta T^4 )) / (\epsilon \sigma A (4T_0^3 \Delta T + 6T_0^2\Delta T^2 + 4T_0 \Delta T^3 + \Delta T^4))

(20)

(6T_0^2\Delta T^2)/(4T_0^3\Delta T) = (3\Delta T) / (2T_0)

(21)

Met de gevonden formule kan het percentage van de fout worden gevonden.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

buitenoppervlak = 0.0234 m^2
warmtecapaciteit = $880*volume*2.7*10^3 = 86.75$
ongeveer 22 graden celsius

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

We willen streven naar een warmteoverdachtcoefficient die tussen de 10 en 15 $W/m^2*K$ zit. Dit is het bekende bereik waartussen aluminium zit.

# data bij buis met dop

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.0234 # bepaal zelf in m^2
# diameter is 4.94, radius 15,08, dikte 0.156 cm
volume = (4.94*np.pi*15.08*0.156)*10**-6
warmtecapaciteit = 880*volume*2.7*10**3 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times = np.array([0,8,19,29,38,43,69,100,137,178,210,256,320,380])
temps = np.array([43,42,41,40,39,38,37,36,35,34,33,32,31,30])+273.3 # in Kelvin


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[20, 380, 295.3], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()

plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
print("De karakteristieke tijdsduur =",tau_exp,"s")
print("Warmteoverdrachtcoefficient = ",h_exp,"W/m^2 K") # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

De karakteristieke tijdsduur = 141.0468483719532 s
Warmteoverdrachtcoefficient =  26.282698549205946 W/m^2 K

Opmerking: Het begin en einde van de grafiek klopt wel, maar in het midden is een rare golving te zien wat mogelijk een gevolg is van een verplaatsing van de thermometer, omdat we pas halverwege de proef de thermometer hebben vastgezet met een knijper. Dit kan ervoor gezorgd hebben dat de temperatuur tijdelijk iets anders is geweest dan gemeten.

# data bij buis zonder dop

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.0234 # bepaal zelf in m^2
volume = (4.94*np.pi*15.08*0.156)*10**-6
warmtecapaciteit = 880*volume*2.7*10**3 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K


times = np.array([0,15,23,40,54,69,85,103,120,140,160,186,212,244,281,322])
temps = np.array([47,46,45,44,43,42,41,40,39,38,37,36,35,34,33,32])+273.3


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[25, 1000, 295.3], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()

plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print("Warmteoverdrachtcoefficient  = ",h_exp,"W/m^2 K")
print("De karakteristieke tijdsduur =",tau_exp,"s")

Warmteoverdrachtcoefficient  =  15.564295987183286 W/m^2 K
De karakteristieke tijdsduur = 238.17921479572738 s

Welk deel gaat naar welke vorm van warmtetransport:¶

Er is vrijwel geen last van de Radiatie, dus hier zal weinig naartoe gaan. De transport door convectie zorgt er wel voor dat de buitenkant afkoelt, maar zal ook weinig bepalen voor hoe snel dat het uiteindelijk gaat. De conductie daarentegen is de meest bepalende transport vorm. Dit is namelijk de beperkende factor die warmte van binnen het materiaal naar buiten moet brengen.

Discussie¶

Het probleem bij de eerste meting is dat de thermometer niet goed bevestigd was aan de buis. Dit denken wij dat de verklaring is voor de schommeling in de data punten, met als gevolg een verkeerde curvefit.

Van de tweede meting is te zien dat de data veel beter aansluit bij de curvefit. Dit komt waarschijnlijk doordat de thermometer nu goed bevestigd is aan de buis met een knijper. De waarde van de warmteoverdrachtscoëfficiënt die hieruit volgt is 15.564 W/m^2*K.

Voor vervolgonderzoek wordt aanbevolen de meetopstelling te verbeteren door om een thermometer op bijvoorbeeld een arduino aan te sluiten. Dit geeft als resultaat dat temperatuursmetingen op vaste tijdsintervallen gemeten worden. Wat de meetonzekerheid aanzienlijk vermindert.

Conclusie¶

In dit onderzoek is de warmteoverdrachtcoefficient gevonden van een aluminium buis door middel van Newton’s wet van afkoeling. Hiertoe is de aluminium buis verwarmt in een heet waterbad, daarna aan een statief gemonteerd en vervolgens met een elektrische thermometer de afkoeling aan omgevingstemperatuur vastgesteld.

Uit de eerste meting, deze is gedaan met een dop op de buis, volgde een warmteoverdrachtcoefficient van

26.3 W/m^2*K

(22)

Deze meting bleek echter minder nauwkeurig uitgevoerd. Dat blijkt uit de rare golving in de metingen. De tweede meting wordt als betrouwbaarder beschouwd doordat hier precieser gewerkt werd. Deze leverde een waarde van

15.6 W/m^2*K

(23)

Voor een aluminium Buis is tussen de 10 en 15 $W/m^2 K$ een normale warmeoverdrachtscoefficient. Onze waarde valt daar net buiten, maar mag wel goedgekeurd worden, omdat deze wel dezelfde orde grootte heeft en waarschijnlijk door een systematische fout net uitsteekt.